اعداد اول و مفرد
اعداد اول و مفرد تکیه کلیدی در ریاضیات هستند و در بسیاری از مسائل و محاسبات بکار می‌روند.اعداد اول به اعدادی گفته میشود که تنها به خودشان و یک بخش پذیرنده‌اند. برای تشخیص اعداد اول، باید تمامی عوامل دو به دوی آنها را بررسی کرد. به طور مثال، عدد 17 یک عدد اول است زیرا تنها در 1 و 17 بخش پذیر است.
اعداد مفرد هم به اعدادی گفته میشود که تنها شامل ارقام فرد هستند. برای مثال، عدد 33 یک عدد مفرد است زیرا شامل ارقام 3 و 3 است و هیچ ارقام زوجی ندارد. این اعداد نیز در مسائل فیزیک و ریاضیات قابل استفاده هستند.
اعداد اول و مفرد از نظر اولویت و مهمیت بیشترین شاخص هستند و در بسیاری از مسائل و محاسبات به آنها نیاز داریم. این اعداد در رمزنگاری، شبکه های اجتماعی و محاسبات دیجیتال به عنوان یکی از اصلی ترین نکات بکار رفته و از این رو آموزش و یادگیری آنها برای دانش‌آموزان از اهمیت بسزایی برخوردار است.
به طور کلی، برگرداندن اعداد اول و مفرد به سادگی با قواعد مشخصی امکان پذیر نیست و نیاز به تلاش و زمان بیشتری دارد. برای بررسی صحت یک عدد و تشخیص آن که آیا عدد اول است یا خیر، لازم است با روش‌های مناسبی آن را بررسی کنیم. در نتیجه، آموزش و یادگیری این مبحث برای دانش آموزان از اهمیت بسزایی برخوردار است و به وسیله آنها، میتوان به حل مسائل پیشرفته و پیچیده ریاضیاتی و روش‌های محاسباتی پرداخت.
اعداد ترکیبی و ترتیبی
ترکیبیات و ترتیبیات دو حوزه ریاضی مهم هستند که در بسیاری از مسائل و مسابقات ریاضیاتی مورد استفاده قرار می‌گیرند. در این حوزه‌ها، به بررسی تعداد حالات ممکن در دسته‌بندی های مختلف پرداخته میشود.
ترتیبیات به بررسی تعداد حالات ممکن در یک آرایش خاص اشیاء می‌پردازد. به عنوان مثال، اگر بخواهیم تعداد حالات ممکن برای رونشتی 5 انسان را بررسی کنیم، از فرمول n! برای محاسبه تعداد آرایش‌های مختلف استفاده می‌کنیم. در این فرمول، n تعداد شیء‌هایی است که قرار است آنها را در نظر بگیریم.
ترکیبیات به بررسی تعداد حالات ممکن در انتخاب شیء‌ها از یک مجموعه می‌پردازد. برای مثال، اگر بخواهیم تعداد راه‌های مختلف برای انتخاب 3 دانشجوی از بین 10 دانشجوی یک کلاس ریاضیات را بشماریم، از فرمول nCk برای محاسبه تعداد حالات استفاده می‌کنیم. در این فرمول، n تعداد کل شیء‌ها و k تعداد شیء‌هایی است که قرار است از آنها برای انتخاب استفاده شود.
با استفاده از فرمول‌های ترتیبیات و ترکیبیات، میتوان تعداد حالات ممکن برای دسته‌بندی‌های مختلف را محاسبه کرد. این فرمول‌ها در بسیاری از مسائل مهم مانند رمزگشایی، مسایل ترافیکی، مسابقات ریاضیاتی و… مورد استفاده قرار می‌گیرند.
اعداد صحیح و دوره‌ای
اعداد صحیح و دوره‌ای دو نوع از اعداد هستند که در ریاضیات و علوم کامپیوتر بسیار مورد استفاده قرار می‌گیرند. اعداد صحیح شامل تمامی اعداد مثبت، منفی و صفر هستند که بدون اعشار و کسر نوشته شده و با استفاده از این اعداد، ما می‌توانیم در ریاضیات تعدادی مفهوم پایه را بررسی کنیم مانند جمع، تفریق، ضرب و تقسیم. به طور مثال، اعداد ۱، -۲ و ۰ همگی اعداد صحیح هستند.
در مقابل، اعداد دوره‌ای شامل اعدادی هستند که دارای کسر و یا اعدادی هستند که با تکرار مشخصه‌ای خاص تبدیل به کسر می‌شوند. به عنوان مثال، عدد پی یکی از اعداد دوره‌ای است که با تکرار مشخصه‌ای خاص درست میشود. این اعداد حتی در جلوه‌های بدیهی زندگی روزمره ما هم به کار می‌روند، مانند وزنی که با اعداد صحیح ساخته میشود و ارقام اعشاری آن، مساحت یک مستطیل یا مثلثی که با اعداد دوره‌ای به دست آمده واحد است، و...
در واقع، اعداد صحیح و دوره‌ای دو نوع از اعداد هستند که هر کدام در زمینه‌های خاص خودشان از اهمیت بسزایی برخوردارند. به همین دلیل، آشنایی با این دو نوع از اعداد و استفاده موثر از آنها، در رشته‌های مختلف علوم و فناوری از اهمیت بسزایی برخوردار است.
مضرب‌های مشترک و کمترین مضرب مشترک
مضرب‌های مشترک مجموعه‌ای از اعداد هستند که بیشترین مضرب مشترک دو یا چند عدد را مشخص می‌کنند. مثلاً، برای اعداد ۲ و ۳، مضرب مشترک کوچکترین عددی است که هر دوی این اعداد را بخشپذیر می‌کند. در این مثال، مضرب مشترک، ۶ می‌باشد.
مضرب مشترک مهم در ریاضیات است، چون تمام نسبت‌ها و ترکیبات عددی می‌توانند با استفاده از آن ساده شوند. این امر به دانش‌آموزان کمک می‌کند تا مسئله را با استفاده از روشی ساده‌تر و محاسبات کمتری حل کنند.
برای محاسبه مضرب مشترک دو یا چند عدد، ابتدا باید مضرب عدد صفر را در نظر گرفت و سپس به ترتیب اعداد را دریافت کرده و بزرگترین توان هر تعداد از عوامل مشترک را در هم ضرب کرد. برای مثال، برای مشخص کردن مضرب مشترک ۲، ۴ و ۶ باید ابتدا یک را در نظر گرفته و سپس بزرگترین توان ۲ و ۳ را در هم ضرب کرد که البته ۶ می‌باشد.
کمترین مضرب مشترک یا LCM، کوچکترین عددی است که بیشترین مضرب مشترک بین دو یا چند عدد را تشکیل می‌دهد. برای یافتن آن، باید بزرگترین توان هر عدد را در هم ضرب کرد تا یک عدد بزرگتر از همه عدد ها به دست آید و سپس با توجه به اینکه هدف کمینه سازی است، عدد را تا زمانی که دیگر نمی‌تواند کوچکتر شود، تقسیم بر هر عددی که تمامی عوامل مشترک را دارد، می‌کنیم.
کاربرد مهم مضرب مشترک و کمترین مضرب مشترک در ریاضیات، مشکلات ریاضیاتی است که جلوگیری از پیچیدگی حسابی را به دانش‌آموزان می‌دهد. بیشتر مشکلات مختلف علایق ریاضی دانش آموزان را به خود جلب می‌کنند، و این دانش در عملیات ریاضیاتی اولیه و متوسط کاربرد بسیار زیاد دارد.
تقسیم عدد صحیح بر عدد اعشاری و برعکس
تقسیم عدد صحیح بر یک عدد اعشاری یا عکس العمل به این عملیات، یعنی تقسیم یک عدد بدون قسمت داشتن بر یک عدد با قسمت دهی، میتواند یکی از مفاهیم پایه ریاضیات باشد. برای انجام این عملیات، باید عدد صحیح را در سمت بالا نوشته و نسبت اعشاری را در سمت پایین نوشت. سپس میتوان این دو عدد را به صورت عادی با هم تقسیم کرد، اما در نهایت خروجی صورت چسبیده‌ای خواهد بود که شامل عدد با اعشار است.
اگر بخواهیم یک عدد با قسمت دهی (عدد اعشاری) را بر یک عدد صحیح تقسیم کنیم، باید ابتدا عدد صحیح را به شکل عدد اعشاری نوشت. برای این کار، بهتر است عدد صحیح را با صفر اعشار در نظر گرفت و سپس نسبت اعشاری را به شکل صفر. به جای این، میتوان ابتدا بخش صحیح اعشاری را یافت و به عنوان پایه تقسیم در نظر گرفت و سپس این بخش را به عدد صحیح اضافه کرد. سپس نسبت اعشاری را به عنوان بخشی از عدد بدون اعشار در نظر بگیرید و مانند تقسیم با دو عدد صحیح عادی عمل کنید.
در کل، باید گفت که تقسیم عدد صحیح بر عدد اعشاری و برعکس، مفاهیم پایه‌ای در ریاضیات می‌باشد که به کمک آنها میتوان مسائل مختلف ریاضی را حل کرد. این مفاهیم بهتر است در دوره یا سطح آموزشی زود هنگام به دانش‌آموزان آموزش داده شوند تا برای حل مسائل در سطوح بالاتر، دانش‌آموزان دارای پیشینه لازم باشند.
اعشارهای دهی و اعشار متحرک
اعشار دهی به استفاده از عدد اعشاری برای بیان مقدار رقمی دقیقتر از اعداد صحیح برای انجام محاسبات دقیق و اصولی در ریاضیات و دیگر علوم کاربردی کمک می‌کند. در اعشار دهی، عدد بین 0 تا 9 به عنوان رقم اعشار بکار می‌رود. در قسمت اعشاری یک عدد، پس از علامت . (نقطه)، اعدادی که حاشیه دار هستند، رقم اعشاری محسوب می‌شوند.
نوشتن اعداد به اعشار دهی در پروژه ها و پایگاه داده ها بسیار شایع است. به جای نوشتن عدد به صورت کامل، اعداد با یک تعداد خاص از اعشار مختصر نوشته می‌شوند و این کار به کاربر این امکان را می‌دهد که مقدار میانی دقیق تری را محاسبه کند. اعشار مختصر برای تعریف دقیق تری از اعداد اصلی استفاده میشود. اعشارهای مختصر در مقایسه با اعداد اصلی، اندکی کوچکتر هستند اما بسیار دقیق ترند.
اعشار متحرک نیز شکل دیگری از اعشار دهی است. در این نوع از اعشار، بر خلاف اعشار مختصر، تعداد بسیار بزرگی از اعشار نوشته میشود. در حالت عادی، تنها یک عدد برای رقم اعشاری نوشته میشود اما در اعشار متحرک، میتوان هر تعداد از اعدادی را نشان داد که بین دو ویرگول قرار می‌گیرند. برای نمونه برای نمایش یک قیمت با اعشار متحرک، 12.3456 به جای 12.34 نوشته میشود. اعشار متحرک در انواعی از نرم افزارها و طراحی وب بکار می‌رود که یک دقت بسیار بالا و دقیق در نمایش اعداد را نیاز دارند.