۱. مجموع و تفاضل دو عدد
هر دو مجموع و تفاضل دو عدد مفاهیمی پایه و مهمی در ریاضیات هستند که در بسیاری از مسائل و محاسبات کاربرد دارند.
ابتدا با مفهوم مجموع دو عدد آشنا می‌شویم. مجموع دو عدد، جمع آن دو عدد است. به عبارت دیگر، اگر اعداد مثبت a و b را به هم بیفزاییم، نتیجه جواب مجموع آن دو عدد است. برای مثال، اگر ۳ و ۷ را با هم جمع کنیم، جواب مجموع آنها برابر با ۱۰ است. تفاوت اعداد نیز یعنی با کم کردن یک عدد از دیگری نسبت به یکدیگر محاسبه میشود.
حال به مثالی برای توضیح مفهوم تفاضل دو عدد می‌پردازیم. فرض کنید ۱۵ نفر دانش‌آموز داریم و تعدادی از آنها در یک آزمون ۹۰ درصد و تعدادی دیگر در آن ۸۰ درصد از نمره کامل شده‌اند. اگر نمره آزمون هر دو گروه را محاسبه کنیم، در آن صورت مجموع نمرات دانش‌آموزان گروه اول و گروه دوم به ترتیب برابر با ۱۳۵۰ و ۱۲۰۰ خواهد بود. بنابراین، تفاوت نمره دانش‌آموزان این دو گروه برابر با ۱۵۰ است.
به‌طور کلی، محاسبه مجموع و تفاضل دو عدد در بسیاری از رشته‌ها و زمینه‌های کاربردی استفاده میشود. دانستن نحوه محاسبه و کار با این مفاهیم از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است.
۲. مجموع چند عدد
مجموع چند عدد به معنای افزودن چند عدد با هم است. یعنی به ازای n عدد، باید این اعداد را با هم جمع کرد تا مجموع آنها به دست آید. به این صورت که مجموع یک عدد با صفر برابر است و هر عدد صحیحی جمع خود با یک معادل است. برای مثال، مجموع اعداد ۱، ۲ و ۳ برابر با شش است که برابر با ترکیب سه عدد یک، دو و سه به دست آمده است.
در ریاضیات، برای مجموع چندعدد علامت جمع (+) بین اعداد نوشته میشود. برای مثال، جمله ۱ + ۲ + ۳ + ۴ مجموع اعداد یک تا چهار است و برابر با ۱۰ میشود.
با توجه به نحوه محاسبه مجموع چند عدد، اهمیت این موضوع برای ریاضیات و فیزیک محسوس است. در حساب دیفرانسیل، مجموع اعداد در برخی فرآیندها مورد استفاده قرار می‌گیرد و در فیزیک نیز به عنوان شار الکتریکی یا جرم مواد، از مجموع اعداد استفاده میشود.
از نظر روش‌های محاسبه مجموع چند عدد، می‌توان از روش تکراری یا روش فرمولی استفاده کرد. در روش تکراری، اعداد با یکدیگر جمع می‌شوند و نتیجه یافته شده به اعداد بعدی اضافه میشود تا در نهایت مجموع به دست آید. این روش برای مجموع اعداد کم در تعداد عملکرد خوبی دارد اما در صورت بودن تعداد زیادی اعداد، زمان بسیار زیادی را می‌طلبد.
در روش فرمولی نیز برای محاسبه مجموع اعداد از فرمول‌های خاص استفاده میشود که تعداد عملکردهای آن کمتر است. به عنوان مثال، در صورتی که می‌خواهیم مجموع اعداد از ۱ تا n را حساب کنیم، فرمول زیر را می‌توان به کار برد:
1 + 2 + 3 + … + n = (n * (n + 1)) / 2
بنابراین، برای محاسبه مجموع چند عدد، روش تکراری و روش فرمولی هر دو قابل استفاده هستند که در صورتی که اعداد اندکی وجود داشته باشند، امکان استفاده از روش تکراری، و در صورتی که تعداد عددها زیاد باشد از روش فرمولی پیشنهاد میشود.
۳. تفاضل چند عدد
در ریاضیات، تفاضل بین دو عدد، فاصله‌ی اعداد را نشان می‌دهد. این مفهوم مهم برای بسیاری از حسابهای ریاضی استفاده میشود.
برای مثال، فرض کنید قرار است تفاضل بین ۳ و ۸ را پیدا کنیم. برای این کار، فقط کافی است اعداد را از یکدیگر کم کنیم: ۸ - ۳ = ۵. یعنی تفاضل بین این دو عدد، برابر با ۵ می‌باشد.
تفاضل تنها برای اعداد حقیقی و دارای مقدار منفی و مثبت است. این بدین معناست که اگر اولین عدد از دومین عدد بزرگ‌تر باشد، تفاضل مثبت و اگر کوچک‌تر باشد، تفاضل منفی خواهد بود.
همچنین، می‌توانیم تفاضل بین بیش از دو عدد را نیز پیدا کنیم. در این صورت، باید تفاضل میان هر دو عدد را محاسبه کرده و سپس اعداد را با یکدیگر جمع کنیم.
در پایان، تفاضل بین دو عدد می‌تواند برای بسیاری از مسائل به‌صورتی کاربردی باشد، برای مثال در حساب کردن فواصل بین دو نقطه در فضا، تعیین شیب یک خط و ... استفاده میشود.
۴. مبحث اعشار و اعداد مختلط
در ریاضیات، اعداد اعشاری شامل اعدادی هستند که در آنها یک قسمت صحیح (بدون معنی) و یک قسمت اعشاری (با معنی) وجود دارد. برای نمونه عدد ۵٫۲۵، ۵ برابر قسمت صحیح و ۰٫۲۵ برابر قسمت اعشاری آن است. از آنجایی که قسمت اعشاری معنی دارد، می‌توان در محاسبات دقت بیشتری داشت.
یکی دیگر از مباحث مهم در این بخش، اعداد مختلط هستند. اعداد مختلط به صورت a+bi نمایش داده می‌شوند، که در آن a و b عدد حقیقی و i عدد موهومی است که رابطه i^2=-1 را دارد. به عنوان مثال، عدد ۲+۳i یک عدد مختلط است که دارای قسمت اصلی ۲ و قسمت موهومی ۳i است.
از محاسبات با اعداد مختلط می‌توان در مباحث مختلفی استفاده کرد، از جمله در فیزیک، الکترونیک و ریاضیات پیشرفته. برای نمونه، با استفاده از اعداد مختلط، می‌توان به روش ماندلبروت، نقاط مرکزی پویای عدد مختلط را محاسبه کرد که در تصویرسازی‌های مختلف استفاده میشود.
نهایتاً، در مبحث اعشار و اعداد مختلط مسائل و مفاهیم مختلفی وجود دارد که با دقت و تمرین می‌توان آنها را فراگیرید. برای همین، درس‌های مرتبط با این موضوع را به دانش‌آموزان پیشنهاد می‌کنیم تا بتوانند این مفاهیم را به خوبی فراگیرند و در حل مسائل موفق عمل کنند.
۵. تقریب به دسیمال
تقریب به دسیمال یکی از مهمترین مفاهیم در ریاضیات و دانش رایانه است. وقتی که ما با اعدادی کار می‌کنیم که بسیار بزرگ یا بسیار کوچک هستند، ممکن است دقت ما در تعیین اعداد به طور کامل به خطر بیفتد. برای مثال، وقتی ما با یک عدد دسیمالی, مثلا ۲.۷۴۱۸۴۵۷، آشنا هستیم، ممکن است بخواهیم به صورت معادل فراوانی آن را با تعداد محدودی ارقام پشت سر همی تعیین کنیم. به این عمل تقریب به دسیمال گفته میشود.
تقریب به دسیمال بسیار مهم است در ریاضیات و علم کامپیوتر برای دستیابی به پاسخ‌های دقیق و معنادار در محاسبات و عملیاتی مانند جمع، تفریق، ضرب یا تقسیم. همچنین، در کاربردهای علمی و پژوهشی که دقت و دقت توجه دشوار است، تقریب به دسیمال می‌تواند بسیار مفید باشد.
هنگامی که تقریب به دسیمال را می‌توان بکار برد، ما به دنبال رقم بهترین تقریبی هستیم که ما می‌توانیم با محاسبات و تنظیم دقیق ترین رقم تخمینی را به دست بیاوریم. برای مثال، اگر ما با یک بعد کمتر از ۱۰۰۰۰۰ متر کار داریم و دو رقم اعشار را با تقریب به دسیمال بدست می‌آوریم، رقم تخمینی خود را به ۵ رقم اعشار نزدیک می‌کنیم.
۶. تقریب به اعداد صحیح
تقریب به اعداد صحیح، یک روش ریاضی است که برای تبدیل یک عدد به عددی نزدیکتر به اعداد صحیح استفاده میشود. این روش معمولاً در محاسبات ریاضی و علمی به کار می‌رود.
برای مثال، فرض کنید که بخواهیم عدد اعشاری ۳/۷ را به عدد صحیح تقریب بزنیم. یکی از روش‌های تقریب به اعداد صحیح، تقسیم عدد ده بر ده است. با اعمال این روش به عدد ۳/۷، می‌توان آن را به صورت ۰/۱، ۱/۱، ۱/۲، ۱/۳، ۲/۳، ۳/۴، ۴/۵، ۵/۶، ۶/۷ تقریب زد. برای نزدیکتر کردن به عدد صحیح، می‌توان از نسبت‌های نزدیکتر به یک استفاده کرد. در این مثال، نسبت ۳/۴ نزدیکترین نسبت به یک خواهد بود. بنابراین برای تقریب ۳/۷ به عدد صحیح، می‌توان از نسبت ۳/۴ استفاده کرد و عدد تقریبی را برابر با ۱ میشود.
یک روش دیگر برای تقریب به اعداد صحیح، محاسبه فاصله عدد اعشاری از عدد صحیح است. برای مثال، برای تقریب عدد ۱۰/۳ به عدد صحیح، به تفاوت آن با نزدیکترین عدد صحیح، یعنی ۳، توجه می‌کنیم. دو فرق این دو عدد با هم برابر با ۰/۳ خواهد بود. برای نزدیکتر کردن به عدد صحیح، می‌توان این فاصله را با ۰/۵ یا ۰/۴ جایگزین کرد. در این مثال، با استفاده از نسبت ۰/۵، به اعداد ۳ و ۴ می‌توان رسید. برای نزدیکتر کردن به عدد صحیح، می‌توان از نسبت ۳/۴ استفاده کرد و عدد تقریبی را برابر با ۳ میشود.
از روش‌های دیگری نیز برای تقریب به اعداد صحیح، مانند روش تقسیم باقی‌مانده، استفاده میشود. این روش‌ها ممکن است برای برخی محاسبات بهتر عمل کنند و بسته به سوال، ممکن است یکی از این روش‌ها برای تقریب به اعداد صحیح، مناسب‌تر باشد.