فیلم اموزشی ریاضی هفتم فصل ۳ عبارت های جبری

1. معرفی عبارت های جبری

عبارت های جبری، عباراتی هستند که محتوای اصلی آنها ترکیب اعداد، متغیرها و عملگرهای ریاضی است. در این عبارات نمادهایی همچون عملگرهای جمع، تفریق، ضرب و تقسیم به صورت ریاضی وجود دارند. معمولاً به جای اعداد خاص وارد شده در این عبارات، از یک یا چند متغیر استفاده می شود که به عنوان یک عنصر مستقل در جبر محسوب می شود.

برای مثال، به عنوان یک عباره جبری، “5x + 3” را در نظر بگیرید. در این عبارت، عدد 5 به عنوان ضریب متغیر x و عدد 3 به عنوان ثابت (یا Intercept) عمل می کند. با وجود اینکه این عبارت جزء معادلات جبری ساده محسوب می شود، با استفاده از عبارت های جبری قابل پیچیده تر، می توان توانسته های بیشتری در جبر را به دست آورد.

به تعبیر دیگر، عبارت های جبری به عنوان یک زبان برای مدل کردن و تفسیر کردن داده های ریاضی استفاده می شوند. مانند هر زبان دیگر، در جبر، نیز یک نحو (Syntax) و یک معنا (Semantics) وجود دارد. عبارت های جبری معمولاً با استفاده از پرانتزها برای بیان اولویت و ارتباط بین عناصر ترکیب می شوند.

در پایان، عبارت های جبری در بسیاری از رشته های علمی و فنی، به عنوان یک وسیله کلیدی برای توصیف، مدلسازی و حل مسائل، به کار گرفته می شوند. عبارت های جبری در مسائل اقتصادی، مهندسی، علوم رایانه، آمار و ... کاربرد دارند و به دلیل کاربردی بودن و سادگی نمایش آنها، محبوبیت زیادی در میان دانشجویان و محققان دارند.

2. عملیات جمع و تفریق در عبارت های جبری

عملیات جمع و تفریق در عبارت های جبری اصول اساسی ریاضیات را شامل می‌شوند. همواره در این عملیات‌ها، در یک عبارت جبری، با استفاده از شیوه های مختلف، عبارت جبری را ساده تر و به راحتی قابل فهم تر می‌کنیم.

در عملیات جمع، دو عبارت جبری با هم ادغام شده و به یک عبارت جبری نهایی تبدیل می‌شوند. در فرایند جمع، ضرب فاکتور مشترک از مخرج یا صور ترازبندی و متقارن‌سازی صور، از ابزار موثری است که به کار می‌رود. این عملیات در توان های مختلف نیز با همین شیوه تکرار می‌شود. به علاوه، با استفاده از قواعد جمع، جمع سررسید، جمع کسرها و جمع شیوه و جمع شمارنده آموزش داده می‌شود.

عملیات تفریق نیز همانند جمع، در عبارات جبری به کار می‌رود. در تفریق، دو عبارت جبری از هم کم می‌شوند و به یک عبارت جبری نهایی تبدیل می‌شوند. در این مرحله، ابتدا از شیوه های صور سازی استفاده می‌شود. برای به دست آوردن تفاوت دو ریاضی‌دان، که اصطلاحاً خم دار، نمی‌توان از قواعد خطی استفاده کرد.

استفاده از عملیات جمع و تفریق در عبارت های جبری برای اصلاح و ساده‌ سازی مسائل اساسی در ریاضیات بسیار مهم است. همچنین، با استفاده از قواعد مربوط به این دو عملیات، می‌توان در مراحل بعدی در پیچیدگی عبارات جبری بهتر مدیریت کرد. به همین دلیل، آموزش جمع و تفریق به عنوان اصول اولیه مسائل ریاضی به دانش‌آموزان توصیه می‌شود.

3. ضرب و تقسیم در عبارت های جبری

ضرب و تقسیم در عبارت های جبری، به مسائلی اشاره دارد که در آنها با مختلط ها، جذر ها و متغیر های غیر تعریف شده، عملیات های جبری صورت می‌گیرد. در واقع، شکل و هندسه جملات جبری، معمولاً با یک عملیات مشخص به صورت ساده تبدیل نمی‌شود. برای تبدیل یک جمله به شکل ساده‌تر، از نحوه انجام عملیات جبری استفاده می‌شود که با استفاده از آن، می‌توانیم عدد یا عبارتی را با عناصر دیگر جمله ترکیب کنیم و یا آن را به شکل دیگری نویسیم.

در ضرب جملات جبری، دو جمله را با هم ضرب می‌کنیم. اگر جملات دارای مختلط ها، جذر ها و متغیر ها باشند، در ابتدا باید این عناصر را با یکدیگر ترکیب کرد و بعد از ترکیب، ضرب را انجام داد. همچنین، برای تقسیم جملات، ابتدا جملات را با یکدیگر ترکیب می‌کنیم، بعد از ترکیب، تقسیم را انجام می‌دهیم.

علاوه بر این، در ضرب و تقسیم در عبارت های جبری، باید به چند نکته هم توجه کرد. در مواردی که عبارت ها دارای پرانتز هستند، باید ابتدا پرانتز را باز کنیم و بعد از آن عملیات ریاضی را انجام دهیم. همچنین، در برخی موارد، جملات جبری به صورت فاکتور دار با هم ترکیب می شوند که باید در ابتدا این عبارات را با هم ترکیب کرده و سپس اعمال ضرب و تقسیم را انجام دهیم.

در نهایت، با استفاده از روش های مختلف ضرب و تقسیم در عبارت های جبری، می‌توانیم جملات را به شکل ساده تری تبدیل کرده و عملیات های مورد نیاز را انجام دهیم. برای اینکه در عملیات های جبری، بهتر بتوانیم حرکت کنیم، باید با دانستن قوانین اولیه جبر، بازنویسی جملات را فرا بگیریم و همچنین با استفاده از دانسته های ساده ریاضی، تلاش کنیم تا با ترکیب عناصر جبری، جملات را به شکل ساده تبدیل کنیم.

4. اصطلاحات جبری

اصطلاحات جبری جزء نوعی از اصطلاحات ریاضی هستند که برای حل مسائل و عملیات ریاضی بسیار مهم محسوب می‌شوند. این اصطلاحات به مجموعه‌ای از نمادها، عملگرها و قواعد تشکیلاتی اشاره دارند که برای حل مسائل ریاضی استفاده می‌شوند.

اصطلاحات جبری در دو دسته مختلف تقسیم می‌شوند که شامل جبر بولی و جبر هندسی هستند. در جبر بولی، نمادهایی مانند +، -، ×، ÷ و … به معنای عملگرهای جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و غیره به کار برده می‌شوند. در جبر هندسی، به جای نمادهای عملگرهای ریاضی، از مفاهیم هندسی و شکل‌های هندسی مانند نقطه، خط و مثلث استفاده می‌شود.

به طور کلی، اصطلاحات جبری جزء اصطلاحات پایه ریاضی محسوب می‌شوند که برای حل مسائل و تعامل با اعداد و اعمال ریاضیاتی مختلف به کار می‌روند. برای یادگیری اصطلاحات جبری، نیاز است که ابتدا با مفاهیم پایه ریاضی آشنا شده و سپس با مباحث پیشرفته تر آشنا شوید. با درک و تسلط بر این اصطلاحات، قادر خواهید بود مسائل پیچیده ریاضی را به راحتی حل و تعامل با اعداد را به صورت حرفه‌ای انجام دهید.

5. اولویت عملیاتی عبارت های جبری

در ریاضیات، اصطلاح جبری به کار می‌روند تا به واژه‌ها، عبارت‌ها و یا اعدادی که می‌توان با آن‌ها عملیاتی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم انجام داد، اطلاق شود. عموماً برای دست‌یابی به جواب در یک مسئلهٔ جبری، باید به ترتیبی خاص از عملیات جبری استفاده کرد. به همین دلیل، مفهوم “اولویت عملیاتی” بازی می‌کند.

در جبری، خود طرف تقسیم خواهیم گفت کدامیک از عملگرها – به ترتیب جمع یا تفریق – باید اول اعمال شوند؛ سپس کدامیک از تقسیم وضع شده قبل از ورود به واحد پایین‌تر باشد. در صورتی که یک برآوردی، قبل از جمع یا تفریق، به وجود آمده باشد، ابتدا آن باید حل شود و بعد عملایت‌های دیگر به درستی انجام خواهند شد.

همچنین در جبر، باید توجه کرد که ضرب‌هایی در پرانتز‌های داخلی کم بالاتر، پیش از عمل‌گرهایی مانند جمع یا تفریق پرانتزهای بیرونی، صورت گیرند. اگر الگوی درست شناخته شود، می‌توان تمامی عملات را با درستی و سرعت فراهم کرد.

اگرچه این مفاهیم در جبر ساده به نظر می‌رسند، اما برای یادگیری درست و سریعتر جبر، تمرین کافی و حل تعداد زیادی از مسائل صورت گرفته برای دست‌یابی به تسلط بر مفاهیم اولویت عملیاتی لازم است.

6. حذف پرانتز در عبارت های جبری

حذف پرانتز در عبارت های جبری یکی از مباحث پایه در ریاضیات است که در برخی موارد ممکن است به دلیل پیچیدگی عبارات جبری، نیاز به حذف پرانتز و ادغام آنها با عملگرهای جبری داشته باشیم.

برای حذف پرانتز در عبارت های جبری، ابتدا باید نحوه ترکیب عملگرهای جبری را بدانیم. در این راستا، ابتدا به اصول اولیه جبر خودمان را آگاه کنیم.این اصول شامل قانون تعویض، قانون انجام عملیات جمع و تفریق، قانون توزیع و قانون انجام عملیات ضرب و تقسیم می‌شوند. برای حذف پرانتز، از این اصول با توجه به نوع پرانتز کمک می‌گیریم.

معمولا در عبارت‌های جبری، پرانتزها در داخل پرانتزهای دیگر وجود دارند. برای حذف پرانتز در این حالت، ابتدا با پرانتز داخلی شروع و با استفاده از قانون توزیع، عبارت را تا حد امکان باز کرده و سپس با انجام عملیات جمع و تفریق، عبارت را به صورت ساده‌تر تبدیل می‌کنیم.

در موارد دیگر، پرانتز تنها به عنوان نشانگر اولویت ترتیب انجام عملیات در عبارت مورد نظر وجود دارند. به این معنا که ابتدا عبارات داخل پرانتز باید انجام شود و سپس عملیات‌های دیگر. در این حالت نیز با استفاده از اصول جبری، پرانتزهای موجود را حذف و عملیات را با ترتیب مناسب انجام می‌دهیم.

در کل، حذف پرانتز در عبارت های جبری با توجه به نوع پرانتز و شیوه ترکیب عملگرهای جبری بستگی دارد. با آگاهی از اصول جبری و تمرین کردن حذف پرانتز در عبارت های مختلف، به سادگی می‌توانیم این مبحث را درک کنیم و عملیات‌های جبری را به صورت سریع و دقیق انجام دهیم.