1. معرفی اعداد صحیح و برخی از ویژگی های آنها
اعداد صحیح یکی از نوع اعداد هستند که برای بسیاری از محاسبات و استفاده ها بسیار مهم هستند. این اعداد شامل اعداد خودکار (0، 1، 2 ،3 و غیره) و اعداد منفی (مثل -1، -2، -3، و غیره) می‌باشند. اعداد صحیح عموماً برای ساده‌سازی هایی که ممکن است بیشتر از اعداد صحیح استفاده کنند، بسیار مهم هستند. برای مثال، در دنیای مهندسی و ریاضیات، اعداد صحیح برای توصیف تعداد و ابعاد شی ها و ساختمان ها استفاده می‌شوند.
از ویژگی های اعداد صحیح می توان به مفهوم ترتیب این اعداد اشاره کرد که به این معناست که اعداد صحیح دارای یک ترتیب منظم هستند. به عنوان مثال، اعداد صحیح منفی کوچکتر از اعداد صحیح مثبت هستند. همچنین، اعداد صحیح با بزرگترین عدد هیچ بیشتر از یک عدد دیگر نیستند.
ویژگی دیگری که برای اعداد صحیح وجود دارد این است که آنها می‌توانند با علامت (+) یا (-) باشند. در حقیقت در صورتی که عدد مثبت باشد، عدد از بین دیگر عدد صحیح گردش می‌کند. در عین حال، در صورتی که عدد منفی باشد، عدد از بین دیگر عدد منفی گردش می‌کند.
در نهایت، با توجه به اهمیت اعداد صحیح، این اعداد در تمامی برنامه ها و رویدادهای ریاضی مورد استفاده قرار می‌گیرند و در مواقعی که به این اعداد نیاز داریم، می‌توانیم از آنها به صورت بهینه استفاده کنیم.
2. تقسیم صحیح بر صحیح و جذر گرفتن اعداد صحیح
تقسیم صحیح بر صحیح یکی از مباحث ریاضی است که در طول سال‌های تحصیلی، در بیشتر پایه‌های مدرسه و دانشگاه، آموزش داده میشود. در این مفهوم به دو دسته صحیح تقسیم شده و باقی‌مانده مشخص میشود. به عبارت دیگر، وقتی دو عدد وجود دارد، یکی را بر دیگری تقسیم می‌کنیم، به نتیجه‌ی کامل یا صحیح تقسیم آن دو عدد می‌رسیم و باقی‌مانده را نیز مشخص می‌کنیم.
با وجود اینکه تقسیم صحیح بر صحیح جزو موضوعات نسبتاً ساده ریاضی شناخته میشود، اما در نیمه دوم این موضوع، و با بازیابی کنه‌های درسی، نحوه‌ی جذرگیری اعدادی از اهمیت بسزایی برخوردار است. با آموزش واحد جذرگیری قطعی و غیرقطعی در ریاضیات، می‌توان به راحتی جذرعدد مثبت و منفی را محاسبه کرد. به طور کلی، می‌توان گفت که در مفهوم تقسیم صحیح بر صحیح، جذرگیری نیز به گونه‌ای معرفی شده که در ریاضیات به کار برده میشود.
در کل، مفاهیم مربوط به تقسیم صحیح بر صحیح و جذرگیری اعداد صحیح از مباحث اساسی وضروری ریاضیات محسوب میشود. یادگیری درست و قدم به قدم این مفاهیم، یکی از شرایط لازم برای رسیدن به دانایی دقیق و بالا در حوزه‌ی ریاضیات است. همچنین، تسلط به این مفاهیم می‌تواند مفید واقع شود برای رشته‌های دیگری نیز مانند مهندسی، فیزیک و سایر رشته‌های فنی و علمی.
3. معرفی اعداد باقی‌مانده و برخی ویژگی‌های آنها
اعداد باقی‌مانده را به صورتی بیان می‌کنیم که پس از تقسیم دو عدد صحیح، مقدار باقی‌مانده آنها را بررسی کنیم. به عبارت دیگر، اگر دو عدد a و b به صورت a÷b نشان داده شود، اعداد باقی‌مانده را با نماد a mod b بیان می‌کنیم.
بسیاری از ویژگی‌های اعداد باقی‌مانده مهمند، به‌طوری‌که از آنها در ریاضیات، علوم کامپیوتری و مهندسی نرم‌افزار استفاده میشود. برخی از ویژگی‌های برجسته این اعداد عبارتند از:
1. اعداد باقی‌مانده همیشه کوچکتر از عددی هستند که تقسیم شده‌اند. به‌عنوان مثال، باقی‌مانده تقسیم 12 بر 5 برابر 2 است که کوچکتر از 5 است.
2. به‌طور خاص، اعداد باقی‌مانده از تقسیم بر 2 (یا چیزی که به آن شتاب داده میشود) بسیار مهم هستند. این اعداد برای تشخیص اگر یک عدد فرد است، یا زوج است، بسیار مفید هستند. باقی‌مانده تقسیم 12 بر 2 برابر 0 است، یعنی 12 یک عدد زوج است.
3. از اعداد باقی‌مانده به عنوان اشاره‌دهنده به یک بافر استفاده میشود. به‌طور کلی، بافر یک محل از حافظه کامپیوتر است که برای حفظ داده‌هایی که در آن زمان به کامپیوتر می‌آیند، استفاده میشود. اعداد باقی‌مانده به عنوان شاخصی برای پیدا کردن محل مناسب در بافر استفاده می‌شوند.
به‌طور کلی، اعداد باقی‌مانده در ریاضیات بسیار مهم و رایج هستند و می‌توانند در محاسبات شما به عنوان اشاره‌گری بسیار قدرتمند استفاده شوند.
4. تقسیم صحیح بر باقی‌مانده و صورت و مخرج تقسیم
تقسیم صحیح بر باقی‌مانده یک عملیات ریاضی است که در آن، یک عدد صحیح (که بخشی از آن معین نشده است) با یک عدد دیگر (که به آن "مقسوم علیه" گفته میشود) تقسیم میشود و باقی‌مانده نیز به همراه نتیجه، به عنوان نتیجه تقسیم ارائه میشود. به وضوح، اعدادی که مانند این در تقسیم وجود دارند، "اعداد تقسیم پذیر" یا "مضاعفان" مقسوم به شناخته می‌شوند. اگر باقی‌مانده برابر صفر باشد، می‌توان معین کرد که عدد مذکور بخش‌پذیر با مقسوم علیه بوده است.
صورت تقسیم معمولا در ابتدای چپ به راست در قسمت فوقانی نوشته میشود. این شامل مقسوم علیه و مقسوم‌کننده است. باقی‌مانده، در قسمت پایینی آن، در ردیف بندی دقیق زیر صورت تقسیم نوشته میشود. پس از اینکه این سه عدد نوشته شدند، می‌توان از این اعداد برای حل پرسش‌های مختلف استفاده کرد. یکی از کاربردهای اصلی این روش، پیدا کردن فرم ساده‌تر بخش‌های کسری است.
صورت ومخرج تقسیم نیز بخش‌های مورد نیاز برای انجام عملیات تقسیم اعداد حسابی هستند. صورت تقسیم به عنوان مقسوم علیه، عددی است که تقسیم میشود. این عدد در قسمت بالایی خط کسر (در قسمت فوقانی) نوشته میشود. از سوی دیگر، مخرج تقسیم به عنوان مقسوم‌کننده، عددی است که برای تقسیم استفاده میشود. این عدد در تحت خط کسر (در قسمت پایینی) نوشته میشود. به عنوان مثال، در تقسیم ۱۰۰ بر ۴، ۱۰۰ صورت تقسیم و ۴ مخرج تقسیم است.
5. معرفی اعداد اول و برخی ویژگی‌های آنها
اعداد اول اعدادی هستند که فقط توسط یک و خودشان قابل‌تقسیم هستند. به عبارت‌دیگر، اعدادی که فقط دو مقسوم به شماری در آنها وجود دارد. نخستین اعداد اول ۲ است. اعداد اول در ریاضیات بسیار مهم هستند و در بسیاری از مسائلی که به شکل ریاضی در جامعه مورد استفاده قرار می‌گیرد، به کار می‌روند.
اعداد اول از خصوصیات جالب وویژگی‌های منحصر به فردی برخوردارند که می‌توان به آنها اشاره کرد. از آن‌جا که اعداد اول تنها برای خودشان و یک قابل تقسیم هستند، هیچگاه نمی‌توانند در محاسبه تعداد مقسوم‌های یک عدد تفریق و تقسیم چندان مفید نباشند.
نکته جالب دیگر درباره اعداد مثل، این است که چیزی به نام فرمول دقیق برای یافتن اعدادی که مثل هستند وجود ندارد. بنابراین، برخی از روش‌های عددی برای یافتن اعداد مثل، نیاز به بررسی مجموعه گسترده اعداد و انجام حساب و ریاضیات مربوطه دارند.
این ویژگی‌ها نشان دهنده این است که اعداد مثل یکی از مهمترین نوع اعداد در علم ریاضیات هستند. آنها در صنایع مختلفی استفاده می‌شوند، از جمله کریپتوگرافی به عنوان مأموریت اصلی آن همچنین آنها را می‌توان برای تولید شماره‌های رندوم و محاسبات نشان داده، که در نتیجه به سرعت کاربردهای فراوانی در جامعه ریاضی و حتی در دنیای الکترونیک یافت میشود.
6. تجزیه عدد به شکل میلادی و عددی‌های ترکیبی
تجزیه عدد به شکل میلادی یعنی به دو عدد کوچکتر ترکیب شده، که در روزهای قدیمی از تقویم میلادی استفاده می‌شد. برای تجزیه عدد به شکل میلادی، از روش‌های مختلفی مانند تقسیم بر 100، 365، و 12 استفاده میشود تا به صورتی که در آن سال، ماه و روز مشخص شوند.
به عنوان مثال، تجزیه عدد ۲۳۰۵ به شکل میلادی به این شکل صورت می‌گیرد: ۲۳۰۵ برابر است با ۶ سال، ۳ ماه و ۱۵ روز. با استفاده از این روش، می‌توان از تعداد کمی از اعداد برای تمثیل تاریخ استفاده کرد و نیازی به استفاده از تمامی اعداد چندرقمی نیست.
عددی‌های ترکیبی نیز از دیگر روش‌های تجزیه عدد به دست آمده‌اند. با استفاده از این روش، یک عدد به صورت مجموع دو عدد کوچکتر تقسیم میشود. به عنوان مثال، عددی که خودش برابر جمع دو عدد کوچکتر از خودش است، ۵ است، زیرا ۲+۳ برابر است با ۵. با استفاده از این روش، می‌توان به صورت سریع و آسان اعداد را تجزیه کرد و بررسی کرد که آیا یک عدد ترکیبی است یا نه.
در کل، تجزیه عدد به شکل میلادی و عددی‌های ترکیبی دو روش کاربردی برای تجزیه عدد به دست آمده‌اند که به دلیل سادگی و کاربرد آنها در برخی مثال‌ها، به عنوان روش‌های مفیدی به شمار می‌آیند.