مقدمه‌ای بر مفهوم معادله
مفهوم معادله در ریاضیات یکی از مفاهیمی است که بسیار مهم و حیاتی برای حل مسائل ریاضی و علمی به شمار می‌آید. در واقع، معادله‌ها در تقریباً همه رشته‌های علمی و فنی، از جمله فیزیک، شیمی، مهندسی، روانشناسی و بسیاری دیگر، بکار می‌روند.
معادله به معنی تساوی دو متغیر است و به صورت یک عبارت ریاضی به نمایش درمی‌آید. برای مثال، معادله ساده x + 3 = 7 را در نظر بگیرید. این معادله به این معنی است که اگر به متغیر x عدد ۴ را نسبت دهیم، آنگاه عبارت سمت چپ از معادله برابر با عبارت سمت راست میشود. به عبارت دیگر، x + 3 در مثال ما برابر با ۷ میشود.
معادلات به طور کلی شامل دو بخش هستند: سمت چپ و سمت راست. وقتی یک عبارت ریاضی را برابر با یک دیگری می‌کنیم، به این کار «حل معادله» می‌گویند. برای مثال، می‌توانیم معادله x² - 4 = 0 را حل کنیم تا مقدار x را بدست آوریم. حل این معادله به شکل x = ±2 صورت می‌گیرد؛ یعنی مقدار x با هر دو مقدار مثبت و منفی ۲ برابر است.
در نتیجه، معادله به عنوان یکی از ابزارهای پایه ریاضیات مورد استفاده قرار می‌گیرد و در بسیاری از مسائل ریاضی و علمی، به شکلی یا شیوه‌ای برای حل مسأله استفاده میشود.
آشنایی با مفهوم‌های مرتبط با معادله
مفهوم معادله به عنوان یکی از مفاهیم مهم ریاضی، در بسیاری از حوزه‌های علمی، فنی و صنعتی کاربرد دارد. در واقع، معادله به صورت یک رابطه‌ی ریاضی بین دو کمیت مختلف تعریف میشود که با استفاده از علامت مساوی (=) نمایش داده میشود. دو کمیت مورد نظر، ممکن است شامل متغیرهای مختلفی باشد که از طریق یک فرمول ریاضی، به همدیگر مرتبط شده‌اند. در صورتی که معادله درست باشد، این بدان معناست که یکی از کمیت‌های مذکور، به صورت دقیق توسط کمیت دیگری تعریف میشود.
معادلات در حقیقت، در کاربرد به دو دسته‌ی اصلی تقسیم بندی می‌شوند: معادلات خطی و معادلات غیرخطی. در معادلات خطی، همه‌ی متغیرها در توان یک یا صفر نوشته می‌شوند و متغیرهایی که روی آنها توان ۱ وجود دارد، باید در یک ضریب ثابت تکرار شوند. در معادلات غیرخطی اما، مرتبه‌ی یک یا بالاتری برای متغیرها تعریف میشود که فرآیند حل آن پیچیده‌تر خواهد بود.
در نهایت، مفهوم معادله‌ی دوم درجه، نیز یکی از مفاهیم مهم در ریاضیات، فیزیک و مهندسی است. در این نوع معادلات، متغیر مورد نظر دو توان دارد و در عملیات حل، سه جواب ممکن است برای متغیر مورد نظر به دست آید. به عنوان مثال، می‌توان به معادله‌ی x^2 + 3x + 2 = 0 اشاره کرد که با داشتن روش‌های مناسب، می‌توان آن را حل کرد. در مجموع، آشنایی با مفاهیم معادلات در ریاضیات، برای فهم و حل مسائل مختلف در زندگی مفید است.
راه‌حل معادلات یک مجهول با استفاده از اصول حسابی
معادله در ریاضیات به شکل عبارتی مانند aX+b=c با مجهول X و ضرایب مشخص است، که هدف در این بخش حل کردن معادله و پیدا کردن مقدار مجهول X است. اصول حسابی در حل معادلات بسیار کاربردی است و در اینجا به بیان آنها پرداخته میشود.
در روش‌های حل معادلات، اصل جمع و اصل تفریق به صورت مهمی مورد استفاده قرار می‌گیرند. برای استفاده از اصل جمع، باید ضرایب مجهول با یکدیگر جمع شده و بعد از آن عبارت مقابل حرکت داده شود؛ و برای استفاده از اصل تفریق، باید عبارتی که حاوی مجهول است از طرفین معادله کم شود و سپس صورت حاصل شده تفسیر شود. این دو اصل همواره روش‌های موثری برای حل معادلات هستند.
یک روش دیگر نیز روی تبدیل معادلات به صورت مؤلفه‌های نامتعلق مبتنی است، که با این روش ابتدا تمام جملات از یکدیگر تفکیک شده و سپس بر روی هر مؤلفه حساب شده و نتیجه ترکیبی از همه آنها، مقدار مجهول را فراهم خواهد کرد.
به طور کلی، حل معادلات با استفاده از اصول حسابی را می‌توان به سادگی انجام داد، ولی به شرطی که این اصول به درستی به کار گرفته شوند. مثلاً، در صورتی که یک جمله با یک همسان باشد، می‌توان آن را از طرف دیگر عبور داد؛ یا در صورتی که یک ضریب منفی داشته باشیم، می‌توانیم به جای جمع، از تفریق استفاده کنیم. درنتیجه مهم است با دقت و ضریب اختصاص دادن به یک مؤلفه، حل معادلات را انجام دهیم.
راه‌حل معادلات یک مجهول با استفاده از کاهش و بسط معادله
حل معادلات یک مجهول برای بسیاری از افراد یکی از مباحث سختی است که با آن روبرو می‌شوند. اما با استفاده از روش کاهش یا بسط معادله، می‌توان این معضل را به راحتی حل کرد. در این روش، از اصل تساوی معادله استفاده میشود تا تمامی اعداد را به یک ضریب مشترک تبدیل کرده و پس از آن، ضرب‌ها شده و فاکتور شده‌ها جدا شده و نهایتاً مجهول معادله به دست می‌آید.
اگر می‌خواهید یک معادله را با استفاده از روش کاهش یا بسط حل کنید، باید ابتدا ضرب کننده‌های مشترک را پیدا کرده و سپس تمامی جملات معادله را با این ضرب‌کننده ضرب کنید. سپس باید کل جملات را جمع کنید و با توجه به نوع معادله، ضرب شده یا فاکتور شده‌ها را با هم جمع کنید تا به نتیجه‌ای برسید که مجهول معادله را نشان می‌دهد.
یکی دیگر از روش‌های حل معادلات با بسط، استفاده از فرمول‌های مخصوص می‌باشد. برای حل اینگونه معادلات، کافی است که فرمول مربوط را به کار بگیرید و مقادیر مختلف مورد نیاز را در آن وارد کنید تا نتیجه نهایی بدست آید.
در نتیجه، روش کاهش یا بسط معادلات باعث میشود سرعت و کارایی روش حل معادلات خطی را افزایش دهد و برای افرادی که با روش‌های پیچیده حل معادلات مشکل دارند، یک راه حل ساده و قابل فهم فراهم می‌سازد.
معادلات خطی با دو مجهول
معادلات خطی با دو مجهول یکی از اصولی‌ترین قضایای ریاضیات هستند که در آن دو مجهول با استفاده از ضرایب خطی و عددی جمع و تفریق می‌شوند. این معادلات همیشه به صورت ax+by=c نشان داده می‌شوند که a، b و c ضرایب و x و y مجهولات هستند. در واقع، در این معادلات، دو مجهول به عنوان متغیرهای یک تابع در نظر گرفته می‌شوند.
برای حل این نوع معادلات دو روش معمولی و البته مؤثر وجود دارد. روش اول که به آن روش اختلاف معادلات نیز گفته میشود، طی آن از دو معادله استفاده میشود و با حذف یکی از مجهولات، مجهول دیگر به دست می‌آید. روش دوم برای حل معادلات خطی با دو مجهول، روش ماتریسی است که در آن با استفاده از تعریف ماتریس و هندسه خطی، معادله حل میشود.
به طور کلی، معادلات خطی با دو مجهول به دلیل پویایی و کاربرد فراوان در علوم مختلف از جمله ریاضیات، فیزیک، مهندسی و ...، به اهمیت ویژه‌ای دست یافته‌اند و پژوهشگران در این حیطه توانسته‌اند بسیاری از مسائل را با استفاده از آنها حل کنند. آشنایی با این نوع معادلات، نه‌تنها برای دانشجویان، بلکه برای همه‌ی افراد ضروری است، چرا که در بسیاری از مسائل روزمره با برخورد معادلات خطی با دو مجهول روبرو می‌شوند.
رسم خطوط به عنوان راه‌حل‌های معادلات خطی با دو مجهول
رسم خطوط به عنوان یکی از راه‌حل‌های معادلات خطی با دو مجهول، به‌طور عمومی برای حل معادلات خطی با دو ناشناخته، دو معادله‌ی خطی به فرم Ax+By=C و Dx+Ey=F را که در آن A، B، C، D، E و F عددی ثابت هستند، به کار می‌رود. برای رسم خطوط از حداقل دو نقطه روی هر خط استفاده میشود که به صورت ترسیم یک خط بین دو نقطه‌ی مشخص در صفحه‌ی مختصات به‌دست می‌آیند.
یعنی ترسیم خطوط به این شیوه که دو نقطه به‌صورت کاملاً مشخص روی صفحه درنظر گرفته شوند، با استفاده از تعریف که از یک خط روی صفحه به‌صورت خطوط چند جمله‌ای گفته میشود، ایده‌آل است و به دقت و خوانایی مطلوبی برخوردار است.
از آنجا که هر خط را می‌توان با رسم دو نقطه‌ی مشخص تعریف کرد، در حالتی که دو معادله با دو ناشناخته داریم، می‌توانیم با رسم خطوط هر دو معادله، تلاش کنیم تا نقطه‌ای را که برای آن هر دو خط به‌طور هم‌زمان برخورد داشته باشند، پیدا کنیم. به این‌صورت می‌توانیم مقدار x و y را برای نقطه‌ی برخورد هر دو خط به‌صورت روشن و دقیق به‌دست آوریم. به‌همین دلیل، رسم خطوط به‌عنوان یکی از روش‌های مطرح در حل معادلات خطی با دو مجهول پراکنده به‌صورت گسترده در درس‌های ریاضی دبیرستانان و دانشگاه‌های رشته‌های مختلف به‌کار برده میشود.