فیلم اموزشی ریاضی هشتم فصل ۱

قوانین جمع و تفریق اعداد صحیح در ریاضیات

قوانین جمع و تفریق در ریاضیات از اصطلاحات اولیه هستند که برای حل مسائل ریاضی استفاده می شوند. واژه های جمع و تفریق به ترتیب به معنای افزودن و کاهش دو عدد می باشند. این قوانین در مورد اعداد صحیح نیز صدق می کند.

قانون جمع اعداد صحیح می گوید که در صورتی که دو عدد صحیح دارای همان علامت باشند، جمع آنها نیز دارای همان علامت خواهد بود. در مقابل، اگر دو عدد صحیح دارای علامت مختلف باشند، مقدار کوچکتر را از مقدار بزرگتر کم کرده، سپس نشان دهنده علامت مانند عدد بزرگتر خواهیم داشت.

در مورد قانون تفریق اعداد صحیح، باید به همان دو حالتی که در قابلیت جمع بیان شد، توجه کرد. در صورتی که دو عدد صحیح دارای همان علامت باشند، باید مقدار کوچکتر را از مقدار بزرگتر کم کنیم و نشان دهنده علامت به همان علامت اصلی باقی خواهیم داشت. اما اگر دو عدد صحیح دارای علامت مختلف باشند، جمع آنها را محاسبه کرده و نشان دهنده علامت عدد بزرگتر خواهیم داشت.

بنابراین ، قوانین جمع و تفریق اعداد صحیح در ریاضیات، ابزار مفیدی برای حل مسائل محاسباتی مختلف است. این قوانین در مسائلی از قبیل محاسبه قیمت های زیاده روی، محاسبه تغییرات شاخص های مالی و غیره بکار می روند. إ به عنوان محاسبان هوشمند، باید قادر باشیم از این قوانین در رسیدن به پاسخ مسائل پیچیده استفاده کنیم.

ضرب و تقسیم اعداد صحیح در ریاضیات

ضرب و تقسیم اعداد صحیح در ریاضیات دو عمل اصلی هستند که در حساب های ریاضی بسیار پرکاربرد می باشند. ضرب به معنای تکرار یک عدد در خودش یا تکرار یک عدد در عدد دیگری می باشد و تقسیم به معنای تقسیم یک عدد بر یک دیگری و پیدا کردن نتیجه ی کلی می باشد.

در ضرب اعداد صحیح، اگر دو عدد مثبت باشند، نتیجه ی ضرب مثبت است و اگر یکی از اعداد منفی باشد خروجی ضرب منفی خواهد بود. به عنوان مثال، ضرب ۲ × ۳ برابر با ۶ می باشد، اما ضرب -۲ × ۳ برابر با -۶ خواهد بود. همچنین، در ضرب اعداد صحیح، عدد صفر همیشه نتیجه تقسیم است.

در تقسیم اعداد، نتیجه ی تقسیم بین جمعه ای بوده و ممکن است باقیمانده ای داشته باشد. به عنوان مثال، تقسیم ۱۲ بر ۳ برابر با ۴ است و تقسیم ۱۲ بر ۷ برابر با ۱ و باقی مانده ۵ می باشد. همچنین، ممکن است با تقسیم پیدا کردن مقسوم علیه و مخروط علیه، اعداد اول را شناسایی کنیم.

در کاربرد های ریاضی دیگری نیز ضرب و تقسیم اعداد صحیح پرکاربرد می باشند. به عنوان مثال، در محاسبات جبری و هندسی، در محاسبه ی نرخ تغییر یا درصد افزایش و کاهش به کار می روند. در مجموع، ضرب و تقسیم اعداد صحیح دو عمل مهم در ریاضیات و زندگی عمومی می باشند.

دوره‌ی چرخشی اعداد در ریاضیات

دوره‌ی چرخشی اعداد در ریاضیات مفهومی است که از تغییر و تحول مراکز هندسی در صفحات گوناگون مشتق می‌شود. این مفهوم مهم در آموزش پیاز های هندسی و شکل‌های نامتناهی است و معمولا در سطح درس‌های پایه‌ی ریاضیات و هندسه آموزش داده می‌شود.

در مفهوم دوره‌ی چرخشی اعداد، دنباله‌ای از اعداد بر روی محور مختصات قرار داده می‌شود و این اعداد به طور مداوم در برابر یک مرکز چرخیده و دوره‌ای بازتکرار می‌شوند. در طول این دوره‌ها، هر یک از اعداد در دنباله به یک مقدار ثابت (زاویه‌ی اساسی) نسبت داده می‌شود و به عنوان نتیجه، پیدا کردن ارتباط بین اعداد در دوره‌های مختلف، از جمله کاربردهای این مفهوم است.

دوره‌ی چرخشی اعداد مهم‌ترین کاربرد خود را در پیازهای هندسی دارد؛ زیرا در این مقوله، دوره‌ی چرخشی اعداد می‌تواند به عنوان یکی از اصول اصلی برای پیدا کردن اشکال هندسی پیچیده‌ی هندسی مورد استفاده قرار گیرد. علاوه بر این، دوره‌ی چرخشی اعداد در آموزش ریاضیات برای دانش‌آموزان بسیار مفید است؛ زیرا کمک می‌کند که دانش‌آموزان یاد بگیرند که چگونه مفاهیم ریاضیاتی پیچیده‌تر را درک کنند و در نهایت، از طریق این مفهوم، بتوانند مسائل پیچیده‌ی ریاضیاتی را به راحتی حل کنند.

اعداد اول و تجزیه آن‌ها در ریاضیات

اعداد اول یکی از مفاهیم پایه‌ای در ریاضیات هستند. اعداد اول، اعدادی هستند که فقط به تنهایی و بدون تقسیم شدن به عدد دیگری قابل تقسیم هستند. به‌عنوان مثال، عدد 2،3 و 5 از اعداد اول هستند چون این اعداد را نمی توان به صورت حاصل ضرب دو اعداد دیگری نوشت.

تجزیه یک عدد به معنای تبدیل آن به حاصل ضرب اعداد دیگری است. برای مثال، عدد 12 می‌تواند به عنوان حاصل ضرب 2*2*3 نوشته شود. به عبارت دیگر، عدد 12 توسط اعداد 2 و 3 تجزیه می‌شود. این ویژگی مهم در ریاضیات است زیرا به ما امکان می دهد تا اعداد را به عوامل خود تقسیم کرده و با استفاده از خواص بسیار مهم از آن‌ها در ریاضیات استفاده کنیم.

برای تجزیه یک عدد به عوامل اول، معمولا ابتدا از کوچکترین اعداد اول شروع می‌کنیم و سپس آن را به عامل‌های خود تقسیم می کنیم. به عنوان مثال برای تجزیه عدد 24 به عوامل اول، ابتدا با 2 تقسیم کرده و بعد با 2 می‌شود 12 شده، و سپس با 2 تقسیم شده و این بار 6 است. در نهایت با 2 يا 3 تقسیم می‌شود که 12 و 8 می‌شوند و نهایتا عامل‌های اول 2*2*2*3 به‌دست‌می‌آیند.

تجزیه عدد به عوامل اول، در بسیاری از حوزه‌های ریاضیاتی و اجتماعی اهمیت دارد. برای مثال، در رمزنگاری، احتمالاً ما با ثابت نمود نمایی (RSA) برای رمزنگاری و رمزگشایی اطلاعات برخورد کرده‌اید. در این سیستم، اعداد اول بسیار بزرگ که تجزیه شده‌اند بسیار مهم هستند. همچنین، تجزیه عدد به عوامل اول در اصولی‌ترین مسائل ریاضیاتی، از جمله متعادل بودن یا عدم متعادل بودن اعداد صحیح و همچنین برای برخی مسائل آنالیز، ترکیبیات و نظریه اعداد اهمیت دارد.

فرمول بسط شده یک عدد در ریاضیات

فرمول بسط شده یک عدد در ریاضیات، به روشی گفته می‌شود که یک عدد اولیه از طریق ضرب در خودش یا در دیگر اعداد اول تقسیم می‌شود. برای نمونه، برای بسط عدد ۲۴، می‌توان به شکل زیر از اعداد اول متعدد استفاده کرد:

۲۴ = ۲ × ۲ × ۲ × ۳

در اینجا، عدد ۲ و ۳، اعداد اولیه هستند که می‌توان به صورت ضرب با هم ۲۴ را بسط داد. این فرمول‌بندی، برای محاسبات ساده تر و آسان تری در ریاضیات بسیار مفید است.

استفاده از فرمول بسط شده یک عدد، به صورت گسترده در حل مسائل ریاضی استفاده می‌شود. برای مثال، در مسائل هندسه فضایی، می‌توان با استفاده از فرمول بسط شده یک عدد، حجم یا مساحت اشیاء مختلف را محاسبه کرد.

همچنین، فرمول بسط شده یک عدد، در تحلیل تابع ها و رسم نمودار های مختلف نیز بسیار کاربردی است. با استفاده از این فرمول، می‌توان دامنه، برد و نقاط پرتابع را با دقت بیشتری تعیین کرد.

از بین خصوصیاتی که برای فرمول بسط شده یک عدد می‌توان نام برد، می‌توان به سرعت بالای آن در حل مسائل، امکان داشتن روش ساده در محاسبات و مفهوم آسانی که در پشت آن قرار دارد، اشاره کرد. در کل، فرمول بسط شده یک عدد یکی از ابزارهای پایه و مهم در ریاضیات است که برای حل مسائل مختلف کاربرد زیادی دارد.

محاسبه مساحت و محیط دایره در ریاضیات

دایره به شکلی هندسی است که تمام نقاطی را که مسافت آنها تا مرکز دایره برابر است، شامل می‌شود. رادیوس (شعاع) دایره، فاصله‌ای است که از مرکز دایره تا هر نقطه روی دایره اندازه‌گیری می‌شود. قطر دایره، یک خط است که از دو نقطه همفکر (مجاور) روی دایره گذرد و مرکز دایره را به دو نیمه تقسیم می‌کند.

برای محاسبه مساحت دایره، فرمول πr² را استفاده می‌کنیم. در این فرمول، π معادل با حدود ۳.۱۴۱۵۹ می‌باشد و r نشان دهنده رادیوس بازه دایره است. بنابراین برای محاسبه مساحت دایره، تنها کافی است رادیوس دایره را بدانیم و آن را در مربع بگذاریم و در نهایت در حاصلضرب π واحد پایه‌ای مربع (مترمربع، سانتیمترمربع و غیره) ضرب نماییم.

برای محاسبه محیط دایره، فرمول ۲πr را استفاده می‌کنیم. در این فرمول، ۲π معادل با حدود ۶.۲۸۳۱۸ می‌باشد و r نشان دهنده رادیوس بازه دایره است. بنابراین برای محاسبه محیط دایره، تنها کافی است رادیوس دایره را بدانیم و آن را در حاصلضرب ۲π ضرب نماییم.

به طور کلی، محاسبه مساحت و محیط دایره هندسه ساده و مهمی در ریاضیات است که در بسیاری از مسائل هندسی مورد استفاده قرار می‌گیرد.