جبر خطی و علایم آن
جبر خطی به عبارت دیگر حساب‌های خطی، شاخه‌ای از ریاضیات است که به بررسی معادلات خطی یا سیستم‌های خطی می‌پردازد. در این بخش از ریاضیات، مفاهیمی مانند بردارها، ماتریس‌ها و دستگاه‌های خطی مطرح میشود.
دستگاه خطی در واقع سیستمی از معادلات خطی است که متغیرهایی مستقل برای حل آن استفاده میشود. این دستگاه‌ها در دانش فیزیک، مهندسی و رشته‌های دیگر بسیار کاربردی هستند. برای مثال، به ازای هر کدام از ماشین‌های الکتریکی، می‌توان یک دستگاه خطی تعریف کرد که نشان می‌دهد چگونه جریان الکتریکی در هر مرحله به صفر می‌رسد.
در جبر خطی، بردارها و ماتریس‌ها نیز بسیار مهم هستند. بردارها به عنوان مجموعه‌ای از مقادیر عددی که در یک فضای بعدی قرار دارند، شناخته می‌شوند. ماتریس‌ها که مجموعه‌ای از اعداد در یک جدول مستطیلی هستند، مفید هستند تا مسائلی که در فضاهای بعدی پیچیده می‌شوند را مدل کنند.
بنابراین، جبر خطی یکی از بخش‌های مهم ریاضیات است که توسعه یافته‌ترین شاخه‌های ریاضیات محسوب میشود. به دلیل کاربردی بودن‌های آن در بسیاری از رشته‌ها، این شاخه از ریاضیات در زندگی روزمره نیز بسیار مفید است و توصیه میشود که برای یادگیری آن بهتر است با مفاهیم پایه شروع کنید و سپس به سمت مسائل پیچیده‌تر حرکت کنید.
جمع و تفریق اعداد صحیح و اعشاری
جمع و تفریق اعداد صحیح و اعشاری از مباحث اساسی ریاضیات است که در زندگی روزمره و در حل مسائل مختلف اهمیت زیادی دارد. با توجه به این که در این مبحث دو نوع اعداد وجود دارد، باید با نکاتی مرتبط با هر یک آشنا شویم.
در جمع و تفریق اعداد صحیح، باید دو عدد را با هم اعمال کرد. اگر دو عدد مثبت باشند، جواب نهایی نیز مثبت خواهد بود. اگر یکی از عددها منفی باشد و دیگری مثبت باشد، جواب نیز به سمت عددی که ازش کمتر است می‌رود. در صورتی که هر دو عدد منفی باشند، ابتدا دو عدد را جمع کرده و سپس به نتیجه نهایی علامت منفی ضرب میشود.
در مورد جمع و تفریق اعداد اعشاری نیز باید به چند نکته توجه کرد. برای جمع کردن اعداد اعشاری، باید دو عدد را در ستون مربوط به اعشاری قرار داد و سپس از راست به چپ جمع کرد. در صورتی که تعداد ارقام اعشاری در دو عدد، با هم برابر نباشد، باید فاصله‌ای صفر بین آنها قرار داد تا درستی جمع بهتر به چشم بیاید. برای تفریق این نوع اعداد نیز همین روش را می‌توان به کار گرفت، با این تفاوت که اعشاری عدد کوچک‌تر از اعشاری عدد بزرگ‌تر کم میشود و به جواب نهایی اضافه میشود.
از اینرو بهتر است همواره در حل مسائل، به دقت دو عدد را با هم جمع یا تفریق کرده و از صحت نتیجه اطمینان حاصل کرده شده قبل از پایان عملیات، اطمینان حاصل کرد.
ضرب و تقسیم اعداد صحیح و اعشاری
ضرب و تقسیم، دو عملیات بسیار اساسی در ریاضیات هستند که در بسیاری از رشته‌های تحصیلی و در زندگی روزمره به کار می‌روند. در این مقاله، با مفاهیم ضرب و تقسیم در اعداد صحیح و اعشاری آشنا خواهید شد.
در عمل ضرب، دو یا چند عدد با هم ضرب می‌شوند و نتیجه ضرب، حاصلضرب نامیده میشود. برای ضرب دو یا چند عدد، به صورت پیاپی عمل ضرب را انجام می‌دهیم. برای مثال، اگر ما می‌خواهیم دو عدد ۴ و ۷ را با هم ضرب کنیم، ابتدا ۴ را در ۷ ضرب می‌کنیم و حاصل بدست آمده را به عدد دیگری که قرار است ضرب شود، اضافه می‌کنیم. در نهایت، حاصل ضرب دو عدد مورد نظر را به دست خواهیم آورد.
تقسیم، عملیات معکوس ضرب است و برای تقسیم دو یا چند عدد، داریم:
ضربنده / تقسیم کننده = قسمت
در بسیاری از موارد، تقسیم دو عدد توسط یکدیگر قابل انجام نیست و در چنین حالت‌هایی، اصطلاح «غیر قابل تقسیم» استفاده میشود.
اعداد اعشاری نیز از عمل‌های ضرب و تقسیم بهره می‌برد. در این حالت، عدد اعشاری را با خودش یا با عدد اعشاری دیگری ضرب و یا تقسیم می‌کنیم. در ضرب دو عدد اعشاری، ابتدا اعشاری دو عدد را به یکدیگر اضافه می‌کنیم و سپس نتیجه‌ی آن را با تعداد رقم اعشاری مورد نظر ضرب می‌کنیم. در تقسیم دو عدد اعشاری، روش خاصی برای تقسیم وجود ندارد و از کسر به شکل‌های مختلفی استفاده میشود.
با مفاهیم ضرب و تقسیم در اعداد صحیح و اعشاری آشنا شدیم. این دو عملیات بسیار مهم در ریاضیات و زندگی روزمره ما هستند که با تمرین و تسلط بر آنها می‌توانید بسیاری از موارد را به راحتی حل کنید.
توان و رادیکال
توان، در ریاضیات یک عملگر یا نماد است که برای بیان نسبت یک عدد به صورت تکرار ضرب آن با خودش مورد استفاده قرار می‌گیرد. به عبارت دیگر، توان نسبت تعدادی بار است که یک عدد خود را با خودش ضرب می‌کند. برای نمایش توان، از نماد ^ استفاده میشود. مثلاً ۲^۳ به معنی ۲×۲×۲ است.
رادیکال نیز یک نماد ریاضی است که برای نشان دادن ریشهٔ مربعی، ریشهٔ سومی، ریشهٔ چهارمی و ... از یک عدد استفاده میشود. برای نشان دادن رادیکال، از نماد √ استفاده میشود.
توان و رادیکال دو عبارت مهم در ریاضیات هستند و در بسیاری از محاسبات و روابط کاربردی هستند. مثلاً در مسایل مربوط به مهندسی، فیزیک، علوم کامپیوتر و ... از توان و رادیکال استفاده میشود. برای محاسبهٔ یک سری معادلات ریاضی، احتمالاً لازم است توان‌ها و رادیکال‌ها را به درستی بیان و محاسبه کنیم.
با توجه به کاربرد گستردهٔ توان و رادیکال در جهان ریاضیات و علوم مرتبط، یادگیری اصول اساسی این دو مفهوم بسیار مهم است و به بسیاری از دانش‌آموزان در یادگیری ریاضیات کمک می‌کند. همچنین، برای بسیاری از دانشجویان در رشتهٔ مهندسی، فیزیک، ریاضیات و علوم مرتبط، این دو مفهوم اساسی و ضروری هستند و برای مسائل پیشرفته و پیچیدهٔ دانشگاهی و حتی کاربردی، بسیار مهم و مفید خواهند بود.
ابتدایی ترین مفاهیم هندسه
هندسه یکی از قدیمی‌ترین رشته‌های علمی است که در آن با اندازه‌گیری اشکال و اجسام مختلف و شیوه قرارگیری آنها در فضا سر و کار داریم. اصول هندسه از قدیمی‌ترین و پایه‌ای‌ترین مفاهیمی هستند که برای تحلیل، بررسی و حل مسائل ریاضی در هندسه و دیگر شاخه‌های ریاضی به کار می‌روند.
ابتدایی ترین مفاهیم هندسه، شامل شکل، اندازه، زاویه، فاصله و ابعاد هستند. شکل اندازه‌پذیری یک شیء است و می‌تواند دوبعدی یا سه‌بعدی باشد. نشان‌دهنده‌ی هر شکل به عنوان یک شیء به تعریف می‌رسد. اندازه یک شکل یعنی طول، پهنا و عمق آن است. زاویه قسمتی از یک دایره یا یک چندضلعی است که بین دو خط تشکیل شده است. فاصله دو نقطه، فاصله بین دو شکل یا فاصله بین دو خط نسبت به دیگری است. ابعاد به صورت طول، پهنا و عمق یک شکل تعریف میشود.
اصول هندسه به دو دسته تقسیم می‌شوند: هندسه سطح و هندسه فضایی. هندسه سطح به بررسی شکل‌های دو بعدی می‌پردازد؛ مانند دایره، مثلث، مستطیل، مربع و دیگر چندضلعی‌ها. این رشته شامل مفاهیمی نظیر روابط زاویه‌ای، میدان‌های برداری، جمع و تفریق بردارها، طول و پهنای دایره و روابط کروی است. هندسه فضایی شامل سه بعدی‌ها مثل کره، استوایی، پیچیدگی‌های فضایی، شیب، فاصله، بردارها و سایر مفاهیم اسکالر و برداری است.
به طور کلی می‌توان گفت که هندسه از اصلی‌ترین و پایه‌ای‌ترین رشته‌های ریاضی محسوب میشود و آن طور که آیا اشکال دو بعدی یا سه بعدی باشند در میان سایر نوع‌های ریاضیات به خود می‌گیرد. همچنین با پیشرفت تکنولوژی کاربردهای هندسه در طراحی و ساخت اجسام مختلف، و همچنین در کامپیوتری شدن دنیای امروزه، این رشته نیز با پیشرفت فناوری به دنبال رفع نیازهای جوامع و صنعت در این زمینه می‌باشد.
محیط و مساحت اشکال هندسی
یکی از مباحث مهم در ریاضیات، محیط و مساحت اشکال هندسی است. هر شکل هندسی از خطوط، مثلث‌ها، چهارضلعی‌ها، دایره و... دارای محیط و مساحتی خاص است که به کمک فرمول‌هایی حساب می‌شوند.
در تعیین محیط شکل هندسی به طور کلی، شامل جمع کردن ابعاد همه یا گروهی از خط‌هایی است که شکل را شامل می‌شوند. برای مثال، محیط یک مثلث برابر با جمع طول سه خط که اضلاع این مثلث را شامل می‌شوند است. همچنین، محیط دایره برابر با ضرب قطر دایره در عدد پی (۳.۱۴) می‌باشد.
به طور مشابه، برای تعیین مساحت یک شکل هندسی نیز فرمول‌های مناسبی وجود دارد. برای مثال، مساحت متوسط یک مثلث برابر باضرب نصف پایه آن در ارتفاعش میشود. همچنین، مساحت دایره برابر باضرب شعاع دایره در مقدار پی می‌باشد.
اصطلاحاتی مانند محیط و مساحت اشکال هندسی بسیار مهمند و هرکسی که به ریاضیات علاقه مند است، باید آنها را به‌خوبی بداند. دانشجویان و علاقه‌مندان به این حوزه می‌توانند با تمرین‌هایی مثل حل مثال‌های مختلف، این مفاهیم را به‌خوبی یاد بگیرند.