فیلم آموزشی ریاضی هشتم فصل چهارم کامل

مثلثات

مثلثات، بخشی از ریاضیات است که بررسی شکل ها، اندازه ها و خصوصیات آن ها را با استفاده از اطلاعاتی که در مورد آن ها داریم، شامل می شود. مثلث، شکل هندسی سه ضلعی است که در ریاضیات بسیار مورد استفاده قرار میگیرد. در مثلث به دو صورت معمولی و معکوس با آن در روابط گوناگونی برای محاسبات وجود دارد.

یکی از مهم‌ترین خصوصیات مثلث، تقسیم مثلث به دو نیمه‌ی مساوی از طریق خطی که به قاعده‌ی متوسطی مثلث یا خط وسط عرضی مربع مثلث معروف است. این خط مورد استفاده در بیان یکی از مفاهیم اصلی مثلثات، یعنی مساحت مثلث، قرار میگیرد.

برای محاسبه مساحت مثلث نیاز به دو مقدار است، معمولاً طول صفحه مثلث (یا بلندی) و اندازه‌ی پایه (طول ضلعی متوسط) از مثلث را به کار می‌گیریم و با یک‌دیگر ضرب می‌کنیم تا مساحت مثلث را بدست آوریم.

در مثلثات، مفاهیم دیگری نیز وجود دارند، مانند نوع‌های مختلف مثلث (مثلث متساوی الساقین و مثلث منظم)، قضیه فیثاغورث، بهینه‌سازی‌ها و سایر مفاهیم ریاضی که ممکن است در محاسبه و حل مسائل مهم با استفاده از مثلثات، کاربردی باشند.

ضرایب چندجمله‌ای

ضرایب چندجمله‌ای به معنی عددی است که با یکی از عناصر چندجمله‌ای ضرب می‌شود. در واقع اگر چندجمله‌ای با درجه n داشته باشیم، ضریب هر جمله به معنی عددی است که در این جمله با عنصر اول چندجمله‌ای ضرب می‌شود و به عنوان عدد پیش از متغیر آن جمله در نظر گرفته می‌شود.

به عنوان مثال فرض کنید که چندجمله‌ای زیر داریم:

x² + 5x + 6

در این چندجمله‌ای، ضریب جمله x² به عدد 1 برابر است. ضریب جمله 5x به عدد 5 برابر است و ضریب جمله 6 به عدد 6 برابر است.

در اینجا باید به این نکته توجه داشت که ضریب چندجمله‌ای بر حسب پیمانه همیشه شامل یک درجه بالاتر از درجه چندجمله‌ای است. به عبارت دیگر، زمانی که چندجمله‌ای با درجه n داریم، تعداد ضرایب در این چندجمله‌ای n+1 درجه دارند.

در نتیجه، پیدا کردن ضرایب چندجمله‌ای بسیار مهم است و می‌تواند برای انجام عملیات‌های مختلف ریاضی زمان‌بر و پیچیده را ساده کند.

قضیه فرمول لابلاس

قضیه فرمول لابلاس یکی از مهمترین قوانین ریاضیاتی در هندسه است. این قضیه، مربوط به محاسبه مساحت و حجم اجسام هندسی است. این قضیه برای تمامی اشکال هندسی قابل استفاده است و می تواند درحل مسائل هندسی مختلف مورد استفاده قرار گیرد.

فرمول لابلاس برای محاسبه حجم اجسام سه بعدی به کار می رود و به شکل زیر است:

V = (1/3) x A x h

در این فرمول، A نشان دهنده مساحت پایه اجسام، h نشان دهنده ارتفاع اجسام و V نشان دهنده حجم اجسام می باشد. این فرمول برای اجسام هندسی متنوعی مانند مخروط، هرم و ... به کار می رود.

قضیه فرمول لابلاس برای محاسبه مساحت سطح با نقطه در مختصات کارتزی یا کره‌ای، به شکل زیر است:

A = (1/2) x ∫(∫ (|∇ F(x,y,z)|²) dxdy)^½ dS

در این فرمول، F نشان دهنده تابع سه بعدی است و ∇F نیز گرادیان مورد نظر می باشد. همچنین، dS نشان دهنده المان سطح مورد نظر مساحتی است که قصد محاسبه آن را داریم و علامت ∫(∫) هم نشان دهنده یک عملگر انتگرال است.

به طور کلی، این قضیه به عنوان یکی از مهمترین قوانین ریاضیاتی در هندسه شناخته شده است و می تواند در حل مسائل هندسی پیچیده مورد استفاده قرار گیرد.

معادلات مربعی دو متغیره

معادلات مربعی دو متغیره، معادلاتی هستند که در آن دو متغیر به صورت توان دو در آمده‌اند. به عنوان مثال، یک معادله مربعی دو متغیره به صورت زیر می‌باشد:

ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0

در این معادله، x و y دو متغیر هستند که از آن‌ها برای حل معادله استفاده می‌شود. هدف در اینجا به دست آوردن مقادیر x و y است که با جایگذاری در معادله، آن را برقرار کنند.

حل معادلات مربعی دو متغیره، ممکن است با استفاده از روش‌های مختلفی صورت گیرد. یکی از این روش‌ها، استفاده از روش معمولی فرمول کوادراتیک می‌باشد. برای حل این معادلات، معمولاً از روش تکمیل مربعات استفاده می‌شود که با استفاده از آن می‌توان معادله را به صورت خطی تبدیل کرد.

نتیجه‌گیری: معادلات مربعی دو متغیره مهمترین معادلات ریاضیاتی هستند که در جبر خطی و هندسه پیدا می‌شوند. برای حل این معادلات، می‌توان از روش‌های مختلفی استفاده کرد که بسته به شرایط و ویژگی‌های معادله، یکی از آن‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرد.

محاسبه ورودی و خروجی تابعی

توابع به عبارت دیگر مجموعه‌ای از دستورالعمل‌هایی هستند که ورودی را دریافت می‌کنند، بر روی آن عملیاتی را انجام می‌دهند و در نهایت خروجی را ایجاد می‌کنند. محاسبه ورودی و خروجی تابعی جزئی از بررسی و کار با توابع است.

ورودی به تابع نوعی از داده است که تابع برای انجام محاسبات مورد نیاز خود از آن استفاده می‌کند. ورودی می‌تواند یک یا چند پارامتر باشد. هر یک از این پارامترها یک مقدار خاصی دارد که توسط کاربر تعیین می‌شود و باید با نوع داده‌ای مشخص و تعریف شده توسط تابع همخوانی داشته باشد.

بعد از دریافت ورودی‌ها، تابع به کار خود ادامه می‌دهد و محاسبات مورد نیاز خود را برای ایجاد خروجی انجام می‌دهد. خروجی می‌تواند یک مقدار یا چند مقدار باشد و باید با نوع داده‌ای مشخص و تعریف شده توسط تابع همخوانی داشته باشد.

برای دستیابی به خروجی، تابع نیاز به استفاده از دستورالعمل‌هایی دارد که عملیات مورد نیاز را بر روی ورودی‌ها انجام دهد. برای مثال، تابعی که محیط و مساحت دو بعدی شکل هندسی را محاسبه می‌کند، باید دستورالعمل‌های زیر را انجام دهد:

- با دریافت اطلاعات مربوط به ورودی‌ها، طول و عرض شکل هندسی را استخراج می‌کند.

- با استفاده از فرمول‌های محاسبه مربوطه، محیط شکل و سپس مساحت شکل را محاسبه می‌کند.

- خروجی تابع، محیط شکل هندسی و سپس مساحت شکل هندسی می‌باشد.

بنابراین، در کلیه توابع، محاسبه ورودی و خروجی تابعی نقش مهمی در ایجاد دستورالعمل‌هایی ایفا می‌کند که نتیجه‌گیری درستی را برای کاربر ایجاد کند.

معادلات بسط داده شده

معادلات بسط داده شده یک روش ریاضی است که به کمک آن می‌توانیم یک معادله پیچیده را به یک معادله ساده تبدیل کنیم. در این روش، از قوانین جمع و ضرب برای بسط دادن عبارات استفاده می‌شود. با این‌حال، بسیاری از معادلاتی که به روش بسط داده شده حل می‌شوند را نمی‌توان به صورت سری به صورت کامل حساب کرد. برای مثال، بسط داده شده یک معادله ممکن است در فضای بی‌نهایت بوده و دقیقاً به‌صورت پایانی حساب نشود.

برای این‌که بتوانیم یک معادله را به صورت بسط داده شده حل کنیم، باید با صورت کلی تری از عبارت شروع کنیم. برای مثال، فرض کنید معادله زیر را می‌خواهیم به صورت بسط داده شده حل کنیم:

(x+2)^2 = 16

با بسط دادن این معادله، به معادله زیر می‌رسیم:

x^2 + 4x + 4 = 16

سپس با جمع و کم کردن اجزای معادله، به معادله استاندارد می‌رسیم:

x^2 + 4x - 12 = 0

در نهایت، با استفاده از فرمول جذرهای معادله در سطح دو، به جواب معادله می‌رسیم:

x = -6 or x = 2

بنابراین، با استفاده از روش بسط داده شده، می‌توانیم به سرعت و به صورت ساده معادلات ریاضی پیچیده را حل کنیم.