۱. اعداد صحیح، اعشاری و مختلط
اعداد صحیح، اعشاری و مختلط به عنوان سه دسته اصلی اعداد در ریاضیات شناخته می‌شوند. اعداد صحیح شامل اعدادی هستند که بدون اعشار و مجموعه اعداد طبیعی را شامل می‌شوند. این اعداد به صورت مثبت، منفی و صفر وجود دارند. برخی از کاربردهای اعداد صحیح شامل شمارش اشیاء، تلاش برای پیدا کردن یک بازه مشترک بین دو یا چند مجموعه از اعداد یا ظرفیت، حجم و وزن اشیاء هستند.
اعداد اعشاری شامل اعدادی هستند که حاوی اعشار هستند و به دو دسته اعداد اعشاری دقیق (مانند 0.5 و 3.75) و اعداد اعشاری ناقص (مانند 0.333 و 6.78) تقسیم می‌شوند. کاربردهای اعداد اعشاری اندازه‌گیری حجم، مساحت، طول، وزن و زمان را شامل میشود و از حساب دقیقی برای پردازش اعداد صحیح و اعشاری استفاده میشود.
اعداد مختلط نیز شامل بخش صحیح و بخش مختلطی هستند که معمولا در قالب a + bi نشان داده می‌شوند. در اینجا a مقدار بخش صحیح و b مقدار بخش مختلط است و عدد i به عنوان جذر منفی ۱ در نظر گرفته میشود. کاربردهای اعداد مختلط شامل اندازه‌گیری دما، مقاومت الکتریکی و فرکانس سیگنال های برقی و الکترونیکی است.
به طور کلی، اعداد صحیح، اعشاری و مختلط در مختلف نوع محاسبات و کاربردهای ریاضیات از قبیل تحلیل داده ها، طراحی صنعتی، مهندسی، رمزنگاری، فناوری اطلاعات و غیره استفاده می‌شوند و هر کدام از این اعداد می‌تواند در محاسبات و مسائل مختلف به کار گرفته شود.
۲. تبدیل اعشاری به مختلط و بالعکس
تبدیل اعشاری به مختلط به معنای تبدیل یک عدد اعشاری به یک مختلط است. برای انجام این کار، ابتدا باید معلومات مربوط به بخش صحیح و بخش اعشاری عدد را داشته باشیم. هر عدد اعشاری شامل دو بخش است: بخش صحیح و بخش اعشاری. بخش صحیح شامل ارقام عدد قبل از نقطه و بخش اعشاری شامل ارقام بعد از نقطه است.
برای تبدیل یک عدد اعشاری به یک مختلط، باید به این شیوه عمل کرد: ابتدا بخش صحیح عدد را به عنوان قسمت حقیقی مختلط در نظر می‌گیریم، سپس بخش اعشاری عدد را به عنوان قسمت خیالی مختلط در نظر می‌گیریم. در نتیجه، مختلطی به دست می‌آید که می‌توان آن را به صورت a + bi نشان داد. در این فرم، a برابر با بخش صحیح عدد است و b برابر با بخش اعشاری عدد است.
برای مثال، فرض کنید عدد اعشاری ۳.۲۵ را می‌خواهید به مختلط تبدیل کنید. بخش صحیح این عدد برابر با ۳ و بخش اعشاری آن برابر با ۲۵ صدم است. بنابراین، مختلط متناظر با این عدد برابر با ۳ + ۰.۲۵i است.
تبدیل مختلط به اعشاری نیز به معنای تبدیل یک مختلط به یک عدد اعشاری است. برای انجام این کار، باید قسمت حقیقی و قسمت خیالی مختلط را جدا کرده و به دو بخش مجزا تبدیل کنیم. سپس، بخش حقیقی مختلط را به عنوان بخش صحیح عدد اعشاری نشان می‌دهیم و بخش خیالی مختلط را با تقسیم بر ۱۰ به توان n (n برای هر عدد طبیعی قابل تعیین است) به عنوان بخش اعشاری عدد اعشاری نشان می‌دهیم. در نتیجه، یک عدد اعشاری به دست می‌آید که معادل مختلط اولیه است.
برای مثال، فرض کنید مختلط a + bi را داریم و می‌خواهیم آن را به یک عدد اعشاری تبدیل کنیم. بنابراین، بخش حقیقی مختلط را به عنوان بخش صحیح عدد اعشاری قرار می‌دهیم. سپس، بخش خیالی را بر ۱۰ به توان -n تقسیم می‌کنیم (n برای هر عدد طبیعی قابل تعیین است) و به عنوان بخش اعشاری عدد اعشاری قرار می‌دهیم. در نتیجه، یک عدد اعشاری به دست می‌آید که معادل مختلط a + bi است.
۳. ترکیب و عملیات با اعداد مختلط
ترکیب و عملیات با اعداد مختلط یکی از مباحث مهم در ریاضیات است که در بسیاری از رشته‌های دانشگاهی و کاربردهای آن‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرد. اعداد مختلط شامل دو بخش حقیقی و موهومی (یا مجازی) هستند که با استفاده از i (یا j) معرفی می‌شوند. در این صورت، هر عدد مختلط به صورت a+bi نوشته میشود که در آن a بخش حقیقی و b بخش موهومی است.
برای ترکیب دو عدد مختلط، با استفاده از اصول ضرب می‌توان عملیات را انجام داد. به طوری که برای عدد مختلط z1=a+bi و z2=c+di، نتیجه‌ی ترکیب آن‌ها برابر است با z1+z2=(a+c)+(b+d)i. همچنین، ضرب دو عدد مختلط با استفاده از اصول ضرب اساسی انجام میشود که نتیجه‌ی آن برابر است با z1×z2=(ac-bd)+(ad+bc)i.
از دیگر عملیات‌هایی که می‌توان با اعداد مختلط انجام داد، قدرمطلق یا «ماژول» نام دارد که این مفهوم نشان‌دهنده‌ی بزرگی یا کوچکی اعداد مختلط است. برای محاسبه‌ی ماژول اعداد مختلط z=a+bi، از فرمول |z|=√(a²+b²) استفاده میشود. در نهایت، باید به این نکته توجه داشت که اعمالی که در رابطه با اعداد دو جزئی روی اعداد مختلط انجام می‌شوند، به هیچ وجه بر روی بخش‌های حقیقی و موهومی جداگانه اعمال نمی‌شوند، بلکه همیشه با توجه به ترکیب دو بخش در نظر گرفته می‌شوند.
۴. اعداد یکسان و ناکافی
اعداد یکسان و ناکافی، معمولا در حوزه های مختلفی مانند آمار، اقتصاد، علوم ریاضی و ... به کار می‌روند. در مفهومی ساده، این اعداد به تعداد دلخواهی وجود دارند که با هم از لحاظ مقداری یکسان هستند اما ممکن است در موارد دیگر، این اعداد تعدادی جمع شده باشند که با یکدیگر تفاوت دارند.
اگرچه اعداد یکسان در یک مفهوم خاص الگویی را ایجاد می‌کنند، اما بسیاری از موارد از نظر کمیتی ناکافی هستند. به عنوان مثال، در صنعت مواد غذایی، اگر دستگاهی برای محک سرعت آژیر اضطراری موجود باشد و به ۱۰۰۰ بار محک شود اما نتایج همگی نشان دهنده رفتاری مشابه آژیر نیستند، این یک مورد اعداد ناکافی است.
در علوم ریاضی، مواردی وجود دارد که محاسبه یک مقدار مشخص از یک تابع با استفاده از یک تعداد محدودی از اعداد ناکافی صورت می‌گیرد. چنین مواردی معمولا با استفاده از الگوریتم‌های مناسبی حل می‌شوند.
در کل، برای استفاده از اعداد یکسان و ناکافی در هر زمینه ای، باید نکات و توجهات خاصی را در نظر داشت و به مورد خاص شما دقت کنید. به طور کلی در صنعت‌های حساس و دقیق همچون قطعات الکترونیکی، صنایع دارویی و غذایی و ... استفاده از اعداد ناکافی می‌تواند به عنوان یک عامل کلیدی در کنترل کیفیت محصولات شناخته شود.
۵. قاعده ضرب در اعداد یکسان و ناکافی
قاعده ضرب در اعداد یکسان و ناکافی، قاعده‌ای ساده ولی مهم در ریاضیات است که در مرحله‌ی ابتدایی آموزش ریاضیات به دانش‌آموزان آموزش داده میشود. این قاعده مربوط به ضرب دو عدد با هم است که هر دو یا هر یک از آن‌ها به صورت بازهمانند باشند. به عبارت دیگر، هرچند که چندان سخت به نظر برسد اما فقط در ابتدایی‌ترین حمایتی می‌کند تا دانش‌آموزان در ادامه‌ی آموزش، این مسائل را به راحتی حل کنند.
هدف این قاعده این است که برای ضرب دو عدد، که هر دو یا حداقل یکی از آن‌ها شامل اعداد دهگان یکسانی است، نیازی به روش پیچیده برای حساب کردن ضرب دو عدد با هم وجود نداشته باشد. به عنوان مثال، اگر دو عدد ۳۵ و ۴۴ به دست آید، ما می‌توانیم آن‌ها را به صورت ساده‌تر با هم ضرب کنیم. برای این کار، ممکن است چند استراتژی مثال مهم: ۳۵×۴۴= ۳۵×۴۰ + ۳۵×۴ = ۱۴۰۰ + ۱۵۴۰ = ۲۹۴۰.
بسیاری از دانش‌آموزان دچار اشتباهات رایج در استفاده از قاعده ضرب در اعداد یکسان و ناکافی هستند. به عنوان مثال، برخی از آن‌ها این قاعده را با قاعده جمع آوری در اعداد یکسان یا قاعده در کائوچونگ اشتباه می‌گیرند. بنابراین، تلاش برای اشتباه نکردن در استفاده از قاعده ضرب در اعداد یکسان و ناکافی برای دانش‌آموزان بسیار حیاتی است.
در ثبت نهایی، می‌توان گفت که قاعده ضرب در اعداد یکسان و ناکافی برای دانش‌آموزان یکی از مباحث اساسی و مهم در ریاضیات است. به خاطر اهمیت آن، هر دانش‌آموزی باید آن‌را به خوبی یاد بگیرد و در آینده به راحتی بتواند با استفاده از آن، حساب‌های خود را به طور صحیح انجام دهد.
۶. تقریب توان و رادیکال
تقریب توان و رادیکال در ریاضیات به مطالعه و بررسی رفتار توان های عددی نزدیک به یکدیگر و یا رفتار رادیکال های نزدیک به هم اشاره دارد. این تقریبات برای حل مسائل ریاضی و حسابی بسیار کاربرد دارند.
برای تقریب توان می‌توان از نمایی ساده استفاده کرد. درواقع می‌توان با استفاده از تایلور و توسعه دهنده‌های دیگر توابع، نتایجی را بدست آورد که به شکل عددی نزدیک به نتایج صحیح باشند. تقریب توان به ویژه در مواردی از جمله محاسبه مشتقات و انتگرال ها، بسیار کاربرد دارد.
در مورد تقریب رادیکال نیز باید گفت که این تقریبات به همان مفهومی اشاره دارند که در مورد تقریب توان بیان شد. در این حالت نیز می‌توان با استفاده از الگوریتم‌های مختلف نزدیکترین رادیکال را به یک عدد خاص به دست آورد تا بتوان از آن به عنوان یک تقریب در مسائل ریاضی و حسابی استفاده کرد.
در نهایت، تقریب توان و رادیکال نیازمند دقت و دانش ریاضیاتی هستند. با استفاده از روش‌های صحیح می‌توان به تقریباتی دقیق رسید که برای حل مسائل ریاضیاتی و حسابی از استفاده آن‌ها می‌توان بهره مند شد.